Математические модели

Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, на­зываются математическими моделями.

 

Пример 1

Рассмотрим текст небольшой заметки из школьной стенгазеты:

После капитального ремонта бассейн «Дельфин» букваль­но преобразился: просторные раздевалки и душевые сверкают новеньким кафелем, захватывает дух от вида замысловатой горки и пятиметровой вышки, манит голубая гладь водных до­рожек. Но самое главное, строители переделали систему во­доснабжения бассейна. Раньше бассейн наполнялся водой из одной трубы. На это уходило 30 часов. Теперь строители под­вели еще одну трубу, которая наполняет бассейн за 20 часов. Представляете, как мало времени теперь потребуется для на­полнения бассейна, если включить обе эти трубы!

 

Этот текст можно рассматривать как словесную мо­дель бассейна. Попробуем решить содержащуюся в замет­ке задачу: узнаем, за сколько часов бассейн наполнится через обе трубы.

 

Если отбросить информацию, несущественную с точки зрения поставленной задачи, то условие задачи можно сформулировать так:

Через первую трубу бассейн наполняется за 30 часов, че­рез вторую трубу — за 20 часов. За сколько часов бассейн на­полнится через обе трубы?

Попробуем решить задачу в общем виде, обозначив время заполнения бассейна через первую и вторую трубы А и В соответственно. Примем за 1 весь объем бассейна, искомое время обозначим через t.

 

Так как через первую трубу бассейн наполняется за А  часов,   то  1/A - часть бассейна, наполняемая первой трубой за 1 час;  1/B  -часть бассейна, наполняемая второй тру­бой за 1 час.

Следовательно, скорость наполнения бассейна первой и  второй трубами вместе составит:   1/A + 1/B .

Можем записать:

  (1)

Мы получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб.

Преобразуем выражение в скобках:

Формула (1) примет вид:

(2)

Теперь искомое время может быть вычислено по формуле:

 

Несложно подсчитать, что при исходных данных А = 30 и В = 20 искомое время  равно 12 часам.

 

Пример 2

На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч.

Составим математическую модель, описывающую по­ложение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.

За t часов мотоциклист проедет 50* км и будет нахо­диться от А на расстоянии 50* км + 20 км. Если обо­значить буквой s расстояние (в километрах) мотоцик­листа до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой:

s = 50*t + 20  ,        где t > 0.

 

 

Вопросы и задания

1. Скорость распространения звука в воздухе в зависимо­сти от температуры может быть найдена приближен­но по формуле v = 331 + 0,6*t, где v — скорость (в мет­рах в секунду), t — температура (в градусах Цельсия). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день при температуре -35 °С и в летний день при температуре +30 °С.

 

2.  Постройте математические модели для приведеных ниже задач. Какой вы можете сделать вывод на осно­вании полученных моделей?

а)  Первая бригада может   выполнить   задание   за  А дней, а вторая — за В дней.   За сколько дней обе бригады выполнят задание, работая вместе?

 

б)  Два велосипедиста одновременно направились на­встречу друг другу из двух сел. Первый мог бы про­ехать расстояние между селами за А минут, второй — за В минут. Через сколько минут они встретятся?

 

3. Воспользовавшись моделью, построенной в примере 1, определите, за сколько часов бассейн может быть на­полнен через первую трубу, если через вторую он за­полняется за 24 часа, а через первую и вторую вмес­те — за 8 часов.

4.  У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов:

Хватит ли садовнику имеющегося провода, чтобы обо­значить границу каждой из представленных клумб?

 

Задания

 

23. Постройте математическую модель решения задачи.

В одной упаковке находится п керамических плиток размером 33 см х 33 см. Сколько упаковок плитки потребуется для того, чтобы выложить ею пол в ванной комнате прямоугольной формы размером:  А см * В см ?

24. Постройте графическую модель решения задачи.

Из пункта А в пункт F ведет прямолинейная дорога длиной 35 км. Остановки автобуса расположены в точках В, С, D, Е. Известно, что АС = 12 км, BD = 11 км, СЕ = 12 км, DF = 16 км. Найдите расстояния: АВ, ВС, CD, DE и EF.

 

25. Почему расположенный ниже рисунок можно считать геометрической моделью формулы а2-b2 = (а - b)(а +b)?

 

 

 

26. У садовника имеется 22 метра провода, которым он хочет обозначить на земле границу будущей клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов:

 

Размер 1 клетки 1м*1м . Хватит ли садовнику имеющегося провода, чтобы обо­значить границу каждой из представленных клумб?

 

Hosted by uCoz